Sådan plusser du brøker

En brøk er en del af noget. Forestil dig at du har en kage, og den bliver skåret i 8 lige store stykker. Hvis du spiser 3 af stykkerne, så har du spist $\frac{3}{8}$ af kagen.

$\frac{3}{8}$

Tallet nederst kalder vi nævneren. Den fortæller, hvor mange stykker kagen er skåret i. Tallet øverst kalder vi tælleren. Den tæller, hvor mange af stykkerne vi har. Så $\frac{3}{8}$ betyder altså 3 stykker ud af 8.

Når nævnerne er ens

Den nemmeste slags plusstykke med brøker er, når nævnerne er ens. Forestil dig at du spiser 2 stykker af kagen, og din lillesøster spiser 3 stykker. Hvor meget af kagen er der så spist?

$\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Her plusser vi bare tællerne, altså $2 + 3 = 5$. Nævneren bliver stående, fordi kagen stadig er skåret i 8 stykker. Der er jo ikke kommet flere stykker i kagen, bare fordi vi har spist nogle af dem.

Det er en af de fejl jeg ser allermest, at man også plusser nævnerne. Så får man $\frac{5}{16}$, og det giver ingen mening. $\frac{5}{16}$ er mindre end $\frac{3}{8}$, og man kan jo ikke have spist mindre kage, efter man har spist mere.

Når nævnerne er forskellige

Det bliver lidt sværere, når nævnerne ikke er ens. Et eksempel kunne være $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$. Her kan vi ikke bare plusse tællerne, fordi stykkerne ikke er lige store. Et stykke af en kage der er skåret i 3, er meget større end et stykke af en kage der er skåret i 4. Derfor skal vi først sørge for, at stykkerne er lige store. Det kalder man at finde en fællesnævner.

Jeg plejer at stille det op i en skabelon. Først skriver jeg opgaven, og så sætter jeg et lighedstegn og laver tomme brøkstreger til resten. Det ser sådan ud.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}} + \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}} = \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}}$

Det første vi gør, er at gange nævnerne med hinanden. Her er det $3 \cdot 4 = 12$. Det tal skriver vi nederst i alle de tomme brøker, hele vejen hen.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{\phantom{00}}{12} + \frac{\phantom{00}}{12} = \frac{\phantom{00}}{12}$

Nu skal vi finde den første tæller. Her ganger vi tæller 1 med nævner 2. Tæller 1 er 2, og nævner 2 er 4, så vi regner $2 \cdot 4 = 8$.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{\phantom{00}}{12} = \frac{\phantom{00}}{12}$

Så skal vi finde den anden tæller. Her ganger vi tæller 2 med nævner 1. Tæller 2 er 1, og nævner 1 er 3, så vi regner $1 \cdot 3 = 3$.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{\phantom{00}}{12}$

Nu har de to brøker samme nævner, og så kan vi plusse tællerne ligesom før. Vi regner $8 + 3 = 11$.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$

Svaret er altså $\frac{11}{12}$.

Grunden til at det virker er, at vi faktisk ganger hver brøk med det samme tal både oppe og nede. Den første brøk ganger vi med 4 både oppe og nede, og den anden brøk ganger vi med 3 både oppe og nede. Det kalder man at forlænge brøken. Når man ganger med det samme tal både oppe og nede, så ændrer man ikke på, hvor stor brøken er. Man skærer bare kagen i flere stykker.

Forkort dit svar

Skabelonen virker altid, men nogle gange giver den et svar med store tal. Derfor er det en god vane at se, om svaret kan forkortes. At forkorte er det modsatte af at forlænge. Her dividerer vi både tælleren og nævneren med det samme tal. Prøv at se på $\frac{1}{6} + \frac{1}{3}$. Vi ganger nævnerne, $6 \cdot 3 = 18$. Tæller 1 gange nævner 2 giver $1 \cdot 3 = 3$, og tæller 2 gange nævner 1 giver $1 \cdot 6 = 6$.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{18} + \frac{6}{18} = \frac{9}{18}$

Både 9 og 18 kan divideres med 9. Så kan vi forkorte brøken.

$\frac{9}{18} = \frac{9 : 9}{18 : 9} = \frac{1}{2}$

$\frac{9}{18}$ og $\frac{1}{2}$ er præcis lige meget kage, men $\frac{1}{2}$ er meget nemmere at forstå.

Når svaret bliver mere end en hel

Nogle gange bliver tælleren større end nævneren. Hvis du har $\frac{3}{4}$ af en kage og får $\frac{2}{4}$ mere, så har du mere end en hel kage.

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4}$ betyder 5 kvarte. 4 af dem er en hel kage, og så er der en kvart tilbage. Derfor kan vi også skrive svaret som et blandet tal.

$\frac{5}{4} = 1\tfrac{1}{4}$

Tjek dit svar

Et godt tjek er at tænke over, om svaret giver mening. I eksemplet $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$ har vi lidt mere end en halv kage og så en kvart. Det må give lidt mindre end en hel kage. Vores svar $\frac{11}{12}$ er lige under en hel, så det passer fint. Hvis du havde fået $\frac{3}{7}$, som er det man får, hvis man plusser både tællere og nævnere, så ville svaret være mindre end $\frac{2}{3}$, og så ved du at noget er gået galt.