Sådan løser du ligninger | Teenager metoden

Ligninger med teenagermetoden

En ligning er et regnestykke, hvor der mangler et tal. Det tal vi ikke kender, kalder vi normalt for $x$. Opgaven er at finde ud af, hvilket tal $x$ er.

$x + 5 = 12$

Her skal vi finde det tal, der giver 12, når man plusser 5 til. Lighedstegnet betyder, at der er præcis lige meget på begge sider. Du kan forestille dig en gammeldags vægt med to skåle. På den ene skål ligger $x + 5$, og på den anden ligger 12, og vægten er helt i balance. Hvis vi tager noget af den ene skål, så skal vi tage præcis det samme af den anden, ellers vipper vægten.

Teenagermetoden

Kender du en teenager? Så ved du, at hvis man beder en teenager om at gøre noget, så gør de tit det modsatte. Beder man dem om at rydde op, så roder de. Beder man dem om at gå i seng, så bliver de oppe. Det er præcis det, vi skal gøre i ligninger.

Når vi skal have $x$ til at stå alene, så kigger vi på, hvad der står ved siden af $x$. Og så gør vi det modsatte. Ligesom en teenager.

$\begin{array}{ccc} \text{Der står} & & \text{Vi gør det modsatte} \cr \hline + & \rightarrow & - \cr - & \rightarrow & + \cr \cdot & \rightarrow & : \cr : & \rightarrow & \cdot \end{array}$

Der er bare én regel, som teenageren skal overholde. Det modsatte skal gøres på begge sider af lighedstegnet. Ellers kommer vægten ud af balance.

Plus og minus

Vi starter med ligningen fra før.

$x + 5 = 12$

Ved siden af $x$ står der plus 5. Teenageren gør det modsatte, så vi minusser 5. Det gør vi på begge sider.

$x + 5 - 5 = 12 - 5$

På venstre side går $+5$ og $-5$ ud med hinanden, og så står $x$ alene. På højre side regner vi $12 - 5 = 7$.

$x = 7$

Det virker på samme måde med minus. Her står der minus 3 ved siden af $x$, så teenageren plusser 3 på begge sider.

$\begin{aligned} x - 3 &= 10 \cr x - 3 + 3 &= 10 + 3 \cr x &= 13 \end{aligned}$

Gange og divider

Når der står et tal lige foran $x$, så betyder det gange. $4x$ betyder altså $4 \cdot x$.

$4x = 20$

Her står der gange 4 ved $x$. Teenageren gør det modsatte, så vi dividerer med 4 på begge sider.

$\begin{aligned} 4x &= 20 \cr 4x : 4 &= 20 : 4 \cr x &= 5 \end{aligned}$

Og når $x$ bliver divideret med et tal, så ganger teenageren med det samme tal på begge sider.

$\begin{aligned} x : 3 &= 6 \cr x : 3 \cdot 3 &= 6 \cdot 3 \cr x &= 18 \end{aligned}$

Ligninger med flere skridt

Nogle ligninger kræver mere end ét skridt. Prøv at se på denne her.

$3x + 4 = 19$

Her står der både gange 3 og plus 4 ved $x$. Hvad skal vi så starte med? Her er teenageren igen på spil. Når vi regner et normalt regnestykke, så følger vi regnehierarkiet, hvor gange kommer før plus. Men i en ligning gør vi det modsatte. Vi starter altså med plus og minus, og bagefter tager vi gange og divider.

Først fjerner vi plus 4 ved at minusse 4 på begge sider.

$\begin{aligned} 3x + 4 &= 19 \cr 3x + 4 - 4 &= 19 - 4 \cr 3x &= 15 \end{aligned}$

Nu står der kun gange 3 tilbage. Så dividerer vi med 3 på begge sider.

$\begin{aligned} 3x : 3 &= 15 : 3 \cr x &= 5 \end{aligned}$

Når der er x på begge sider

Nogle gange er der $x$ på begge sider af lighedstegnet.

$5x - 2 = 2x + 10$

Her starter vi med at samle alle $x$'erne på den ene side. På højre side står der plus $2x$, så teenageren minusser $2x$ på begge sider.

$\begin{aligned} 5x - 2 - 2x &= 2x + 10 - 2x \cr 3x - 2 &= 10 \end{aligned}$

Nu ligner det en ligning, vi kender. Der står minus 2, så vi plusser 2 på begge sider.

$\begin{aligned} 3x - 2 + 2 &= 10 + 2 \cr 3x &= 12 \end{aligned}$

Til sidst står der gange 3, så vi dividerer med 3 på begge sider.

$\begin{aligned} 3x : 3 &= 12 : 3 \cr x &= 4 \end{aligned}$

Gør prøve

Det smarte ved ligninger er, at man altid kan tjekke sit svar. Det kalder man at gøre prøve. Man sætter bare sit svar ind på $x$'s plads og ser, om begge sider giver det samme. I den sidste ligning fandt vi ud af, at $x = 4$.

$\begin{aligned} 5 \cdot 4 - 2 &= 2 \cdot 4 + 10 \cr 20 - 2 &= 8 + 10 \cr 18 &= 18 \end{aligned}$

Begge sider giver 18, så vægten er i balance, og vores svar er rigtigt. Hvis de to sider ikke giver det samme, så ved du, at der er gået noget galt undervejs.