Sådan løser du algebra

Algebra

Algebra er matematik med bogstaver. I stedet for at skrive et tal, så skriver vi et bogstav, som tit er $x$. Bogstavet står for et tal, som vi enten ikke kender endnu, eller som kan skifte. Det lyder måske mærkeligt, men du bruger det faktisk allerede i hverdagen.

Forestil dig at en småkage koster 4 kr. Hvis du køber 3 småkager, så koster det $3 \cdot 4 = 12$ kr. Men hvad nu hvis vi ikke ved, hvor mange småkager du køber? Så kan vi kalde antallet for $x$, og så koster det $4 \cdot x$ kr. Det er algebra. Vi har lavet én regel, som virker, uanset hvor mange småkager du køber.

$\text{Pris} = 4 \cdot x$

Skrivemåden i algebra

I algebra er der nogle regler for, hvordan man skriver. Når der står et tal lige foran et bogstav, så betyder det gange. Det er der en god grund til, for gangetegnet $\cdot$ ligner meget et punktum, og et $\times$ ligner et $x$. Derfor springer vi gangetegnet over.

$4x = 4 \cdot x$

Hvis der ikke står et tal foran bogstavet, så er der 1 af det. Man skriver bare aldrig 1-tallet.

$x = 1x$

Og når et bogstav bliver ganget med sig selv, så skriver vi det som en potens.

$x \cdot x = x^{2}$

Indsæt et tal

Når vi kender tallet, så kan vi sætte det ind på bogstavets plads. Hvis du køber 5 småkager, så er $x = 5$, og så kan vi regne prisen ud.

$4x = 4 \cdot 5 = 20$

Det virker også med længere udtryk. Her skal man bare huske regnehierarkiet, så man ganger før man plusser. Prøv at sætte $x = 3$ ind i udtrykket $2x + 7$.

$\begin{aligned} 2x + 7 &= 2 \cdot 3 + 7 \cr &= 6 + 7 \cr &= 13 \end{aligned}$

Saml ens led

Når man har et langt udtryk med bogstaver, så kan man tit gøre det kortere. Det kalder man at reducere. Reglen er, at man kun må lægge ting sammen, som er af samme slags.

Forestil dig at du har 3 småkager i den ene hånd og 2 småkager i den anden. Så har du 5 småkager. Det er det samme i algebra.

$3x + 2x = 5x$

Men hvis du har 3 småkager og 2 kager, så kan du ikke sige, at du har 5 småkager. Det er to forskellige ting. Det er det samme med to forskellige bogstaver. $x$ og $y$ kan ikke lægges sammen.

$3x + 2y$

Det udtryk kan altså ikke gøres kortere. Når der både er bogstaver og tal, så samler vi bogstaverne for sig og tallene for sig.

$\begin{aligned} 4x + 3 + 2x + 5 &= 4x + 2x + 3 + 5 \cr &= 6x + 8 \end{aligned}$

Først flytter vi rundt, så de ens led står ved siden af hinanden. Det må vi godt, fordi rækkefølgen er ligegyldig, når vi plusser. Så regner vi $4x + 2x = 6x$ og $3 + 5 = 8$. Husk at $x$ og $x^{2}$ heller ikke er ens led. $x^{2}$ er en helt anden slags end $x$, så de kan ikke lægges sammen.

Flere forskellige bogstaver

Nogle gange er der mange forskellige bogstaver i det samme udtryk. Prøv at se på det her.

$12a + 7b - 16c$

Her er der tre forskellige slags. $a$, $b$ og $c$ er tre forskellige ting, ligesom småkager, kager og boller. Derfor kan udtrykket ikke gøres kortere. Men hvis der er flere led af den samme slags, så skal vi samle dem.

$12a + 7b - 16c - 4a + 3b + 6c$

Det kan godt se rodet ud, men vi tager det stille og roligt, én slags ad gangen. Det vigtigste at huske er, at tegnet foran et led hører til leddet. Står der $-4a$, så er det minus 4 $a$'er, og minusset skal følge med, når vi flytter rundt.

Først flytter vi rundt, så alle $a$'erne står sammen, så alle $b$'erne og til sidst alle $c$'erne. Læg mærke til at hvert led tager sit tegn med sig.

$12a + 7b - 16c - 4a + 3b + 6c = 12a - 4a + 7b + 3b - 16c + 6c$

Nu samler vi $a$'erne. Vi regner $12 - 4 = 8$.

$12a - 4a + 7b + 3b - 16c + 6c = 8a + 7b + 3b - 16c + 6c$

Så samler vi $b$'erne. Vi regner $7 + 3 = 10$.

$8a + 7b + 3b - 16c + 6c = 8a + 10b - 16c + 6c$

Til sidst samler vi $c$'erne. Vi regner $-16 + 6 = -10$. Man kan tænke på det som at skylde 16 kr. og så betale 6 kr. tilbage. Så skylder man stadig 10 kr.

$8a + 10b - 16c + 6c = 8a + 10b - 10c$

Svaret er altså $8a + 10b - 10c$. Hvis du synes det er svært at holde styr på, så kan du sætte en streg under alle $a$'erne, to streger under alle $b$'erne og en ring om alle $c$'erne, inden du går i gang. Så kan du hurtigt se, hvad der hører sammen.

Gange ind i en parentes

Når der står et tal lige foran en parentes, så betyder det, at hele parentesen skal ganges med tallet. Når vi ganger ind i parentesen, så ophæver vi den. Det gør vi ved at gange tallet med hvert led inde i parentesen, et ad gangen.

$4(x + 5)$

Her skal vi både gange 4 med $x$ og 4 med 5. Først ganger vi 4 med $x$.

$4(x + 5) = 4 \cdot x + \phantom{4 \cdot 5}$

Så ganger vi 4 med 5.

$4(x + 5) = 4 \cdot x + 4 \cdot 5$

Til sidst regner vi det ud.

$4(x + 5) = 4x + 20$

Det er en af de fejl jeg ser allermest, at man kun ganger med det første led og glemmer det andet. Så får man $4x + 5$, og det er forkert.

Minus foran en parentes

Hvis der står minus foran en parentes, så skal man passe ekstra på. Minus betyder nemlig, at alt inde i parentesen skifter fortegn. Plus bliver til minus, og minus bliver til plus.

$\begin{aligned} 10 - (x - 3) &= 10 - x + 3 \cr &= 13 - x \end{aligned}$

Man kan tænke på det, som om man trækker hele parentesen fra. Vi trækker $x$ fra, men de 3 der stod med minus inde i parentesen, var jo allerede trukket fra $x$. Dem skal vi derfor lægge tilbage.

Gange med bogstaver

Når man ganger to led med bogstaver, så ganger man tallene for sig og bogstaverne for sig.

$\begin{aligned} 2x \cdot 3x &= 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cr &= 6x^{2} \end{aligned}$

Tallene giver $2 \cdot 3 = 6$, og bogstaverne giver $x \cdot x = x^{2}$.

Et samlet eksempel

Nu prøver vi at bruge det hele på én gang. Vi skal reducere udtrykket her.

$3(x + 2) + 2(2x - 1)$

Først ganger vi ind i begge parenteser.

$3(x + 2) + 2(2x - 1) = 3x + 6 + 4x - 2$

Så flytter vi rundt, så de ens led står ved siden af hinanden.

$3x + 6 + 4x - 2 = 3x + 4x + 6 - 2$

Til sidst samler vi bogstaverne for sig og tallene for sig.

$3x + 4x + 6 - 2 = 7x + 4$

Tjek dit svar

Et godt tjek i algebra er at vælge et tal og sætte det ind både før og efter. Hvis du har regnet rigtigt, så skal du få det samme. Prøv at sætte $x = 1$ ind i det samlede eksempel.

$\begin{aligned} 3(1 + 2) + 2(2 \cdot 1 - 1) &= 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 11 \cr 7 \cdot 1 + 4 &= 11 \end{aligned}$

Begge giver 11, og så ved vi, at vores reducering er rigtig.