Divider med brøker | Zig-zag metoden

En brøk er en del af noget. Forestil dig at du har en kage, og den bliver skåret i 4 lige store stykker. Hvert stykke er så $\frac{1}{4}$ af kagen. Tallet nederst kalder vi nævneren, og den fortæller hvor mange stykker kagen er skåret i. Tallet øverst kalder vi tælleren, og den tæller hvor mange af stykkerne vi har.

Hvad betyder det at dividere med en brøk?

Når vi dividerer, så spørger vi: hvor mange gange kan det ene være i det andet? Forestil dig at du har en halv kage, og du vil skære den i stykker, der hver er en kvart kage. Hvor mange stykker får du så?

$\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = 2$

Der er altså 2 kvarte i en halv. Læg mærke til at svaret bliver større end det vi startede med. Det overrasker mange, fordi man er vant til at divider gør tingene mindre. Men når vi dividerer med en brøk der er mindre end 1, så deler vi i små stykker, og så bliver der flere af dem.

Zig-zag-metoden

Når jeg dividerer brøker, så bruger jeg zig-zag-metoden. Den hedder sådan, fordi man ganger på skrå frem og tilbage mellem de to brøker. Ligesom med de andre brøkregnestykker stiller jeg det op i en skabelon. Først skriver jeg opgaven, og så sætter jeg et lighedstegn og laver en tom brøkstreg til svaret. Et eksempel kunne være $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$.

$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}}$

Først ganger vi tæller 1 med nævner 2. Tæller 1 er 2, og nævner 2 er 5, så vi regner $2 \cdot 5 = 10$. Det skriver vi i tælleren i svaret.

$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{10}{\phantom{00}}$

Så ganger vi nævner 1 med tæller 2. Nævner 1 er 3, og tæller 2 er 4, så vi regner $3 \cdot 4 = 12$. Det skriver vi i nævneren i svaret.

$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{10}{12}$

Svaret er altså $\frac{10}{12}$. Det er vigtigt at man altid starter med tæller 1. Hvis man bytter rundt, så vender svaret på hovedet, og så er det forkert.

Forkort dit svar

Når man har divideret, er det en god vane at se, om svaret kan forkortes. At forkorte vil sige, at vi dividerer både tælleren og nævneren med det samme tal. Både 10 og 12 kan divideres med 2.

$\frac{10}{12} = \frac{10 : 2}{12 : 2} = \frac{5}{6}$

$\frac{10}{12}$ og $\frac{5}{6}$ er præcis lige meget kage, men $\frac{5}{6}$ er nemmere at forstå.

Vi kan også prøve zig-zag-metoden på eksemplet fra starten, hvor vi fandt ud af, at der er 2 kvarte i en halv. Tæller 1 gange nævner 2 giver $1 \cdot 4 = 4$, og nævner 1 gange tæller 2 giver $2 \cdot 1 = 2$.

$\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{4}{2}$

$\frac{4}{2}$ betyder 4 divideret med 2, og det giver 2. Det passer præcis med det vi fandt ud af med kagen.

Divider med hele tal

Et helt tal kan altid skrives som en brøk med 1 nederst. 3 er nemlig det samme som 3 hele, altså $\frac{3}{1}$. Så kan vi bruge zig-zag-metoden ligesom før.

Forestil dig at du har 3 hele kager, og du vil skære dem i kvarte. Hvor mange stykker får du?

$3 : \frac{1}{4} = \frac{3}{1} : \frac{1}{4} = \frac{12}{1} = 12$

Tæller 1 gange nævner 2 giver $3 \cdot 4 = 12$, og nævner 1 gange tæller 2 giver $1 \cdot 1 = 1$. Der er altså 12 kvarte i 3 kager, og det passer jo, fordi der er 4 i hver kage.

Det virker også den anden vej. Forestil dig at du har $\frac{3}{4}$ af en kage, og den skal deles mellem 2 personer.

$\frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4} : \frac{2}{1} = \frac{3}{8}$

Tæller 1 gange nævner 2 giver $3 \cdot 1 = 3$, og nævner 1 gange tæller 2 giver $4 \cdot 2 = 8$. Hver person får altså $\frac{3}{8}$ af kagen.

Tjek dit svar med gange

Gange og divider er hinandens modsætninger. Det kan vi bruge til at tjekke vores svar. Hvis vi ganger svaret med den brøk vi dividerede med, så skal vi ende med den brøk vi startede med. I eksemplet før fik vi $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{5}{6}$. Når vi ganger brøker, ganger vi tæller med tæller og nævner med nævner.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{20}{30}$

Både 20 og 30 kan divideres med 10, så vi forkorter.

$\frac{20}{30} = \frac{20 : 10}{30 : 10} = \frac{2}{3}$

Vi får $\frac{2}{3}$, som var den brøk vi startede med, og så ved vi at vores svar er rigtigt.