Sådan minusser du brøker

En brøk er en del af noget. Forestil dig at du har en kage, og den bliver skåret i 8 lige store stykker. Hvert stykke er så $\frac{1}{8}$ af kagen.

Tallet nederst kalder vi nævneren. Den fortæller, hvor mange stykker kagen er skåret i. Tallet øverst kalder vi tælleren. Den tæller, hvor mange af stykkerne vi har. Så $\frac{5}{8}$ betyder altså 5 stykker ud af 8.

Når nævnerne er ens

Den nemmeste slags minusstykke med brøker er, når nævnerne er ens. Forestil dig at der er 5 stykker kage tilbage, og så spiser du 2 af dem. Hvor meget af kagen er der så tilbage?

$\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$

Her minusser vi bare tællerne, altså $5 - 2 = 3$. Nævneren bliver stående, fordi kagen stadig er skåret i 8 stykker. Stykkerne bliver jo ikke større eller mindre, bare fordi vi spiser nogle af dem.

Det er en af de fejl jeg ser allermest, at man også minusser nævnerne. Så får man $8 - 8 = 0$ nederst, og det giver ingen mening. Man kan nemlig ikke skære en kage i 0 stykker.

Når nævnerne er forskellige

Det bliver lidt sværere, når nævnerne ikke er ens. Et eksempel kunne være $\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$. Her kan vi ikke bare minusse tællerne, fordi stykkerne ikke er lige store. Et stykke af en kage der er skåret i 3, er større end et stykke af en kage der er skåret i 4. Derfor skal vi først sørge for, at stykkerne er lige store. Det kalder man at finde en fællesnævner.

Jeg plejer at stille det op i en skabelon. Først skriver jeg opgaven, og så sætter jeg et lighedstegn og laver tomme brøkstreger til resten. Det ser sådan ud.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}} - \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}} = \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}}$

Det første vi gør, er at gange nævnerne med hinanden. Her er det $4 \cdot 3 = 12$. Det tal skriver vi nederst i alle de tomme brøker, hele vejen hen.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{\phantom{00}}{12} - \frac{\phantom{00}}{12} = \frac{\phantom{00}}{12}$

Nu skal vi finde den første tæller. Her ganger vi tæller 1 med nævner 2. Tæller 1 er 3, og nævner 2 er 3, så vi regner $3 \cdot 3 = 9$.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{\phantom{00}}{12} = \frac{\phantom{00}}{12}$

Så skal vi finde den anden tæller. Her ganger vi tæller 2 med nævner 1. Tæller 2 er 1, og nævner 1 er 4, så vi regner $1 \cdot 4 = 4$.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{\phantom{00}}{12}$

Nu har de to brøker samme nævner, og så kan vi minusse tællerne ligesom før. Vi regner $9 - 4 = 5$.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$

Svaret er altså $\frac{5}{12}$.

Ved minus er det ekstra vigtigt, at tællerne bliver i den rigtige rækkefølge. Den tæller vi får fra den første brøk, skal stå først, og den vi får fra den anden brøk, skal stå bagefter. Hvis man bytter rundt og regner $4 - 9$, så får man et forkert svar.

Grunden til at skabelonen virker er, at vi faktisk ganger hver brøk med det samme tal både oppe og nede. Den første brøk ganger vi med 3 både oppe og nede, og den anden brøk ganger vi med 4 både oppe og nede. Det kalder man at forlænge brøken. Når man ganger med det samme tal både oppe og nede, så ændrer man ikke på, hvor stor brøken er. Man skærer bare kagen i flere stykker.

Forkort dit svar

Skabelonen virker altid, men nogle gange giver den et svar med store tal. Derfor er det en god vane at se, om svaret kan forkortes. At forkorte er det modsatte af at forlænge. Her dividerer vi både tælleren og nævneren med det samme tal. Prøv at se på $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$. Vi ganger nævnerne, $6 \cdot 3 = 18$. Tæller 1 gange nævner 2 giver $5 \cdot 3 = 15$, og tæller 2 gange nævner 1 giver $1 \cdot 6 = 6$. Til sidst regner vi $15 - 6 = 9$.

$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{15}{18} - \frac{6}{18} = \frac{9}{18}$

Både 9 og 18 kan divideres med 9. Så kan vi forkorte brøken.

$\frac{9}{18} = \frac{9 : 9}{18 : 9} = \frac{1}{2}$

$\frac{9}{18}$ og $\frac{1}{2}$ er præcis lige meget kage, men $\frac{1}{2}$ er meget nemmere at forstå.

Minus fra en hel

Nogle gange skal man trække en brøk fra en hel. Forestil dig at du har en hel kage, og så spiser du $\frac{3}{8}$ af den. En hel kage skåret i 8 stykker er det samme som 8 stykker ud af 8, altså $\frac{8}{8}$.

$1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Når vi har skrevet 1 om til en brøk med samme nævner, så er det bare et almindeligt minusstykke med ens nævnere.

Tjek dit svar med plus

Minus og plus er hinandens modsætninger. Det kan vi bruge til at tjekke vores svar. Hvis vi plusser svaret med den brøk vi trak fra, så skal vi ende med den brøk vi startede med. I eksemplet før fik vi $\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$. Nu tjekker vi med skabelonen for plus.

$\frac{5}{12} + \frac{1}{3} = \frac{15}{36} + \frac{12}{36} = \frac{27}{36}$

Både 27 og 36 kan divideres med 9, så vi forkorter.

$\frac{27}{36} = \frac{27 : 9}{36 : 9} = \frac{3}{4}$

Vi får $\frac{3}{4}$, som var den brøk vi startede med, og så ved vi at vores svar er rigtigt.