Sådan gange du brøker

En brøk er en del af noget. Forestil dig at du har en kage, og den bliver skåret i 3 lige store stykker. Hvis du har 2 af stykkerne, så har du $\frac{2}{3}$ af kagen. Tallet nederst kalder vi nævneren, og den fortæller hvor mange stykker kagen er skåret i. Tallet øverst kalder vi tælleren, og den tæller hvor mange af stykkerne vi har.

Gange betyder "af"

Når vi ganger med en brøk, så kan vi læse gangetegnet som ordet "af". Forestil dig at der er en halv kage tilbage, og du må få halvdelen af den. Hvor meget af hele kagen får du så?

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Halvdelen af en halv kage er en kvart kage. Læg mærke til at svaret bliver mindre end det vi startede med. Det overrasker mange, fordi man er vant til at gange gør tingene større. Men når vi ganger med en brøk der er mindre end 1, så tager vi kun en del af noget, og så bliver det mindre.

Sådan ganger man brøker

Den gode nyhed er, at gange med brøker er nemmere end plus og minus. Vi skal nemlig ikke finde en fællesnævner. Vi ganger bare tæller med tæller og nævner med nævner.

Jeg plejer at stille det op i en skabelon. Først skriver jeg opgaven, og så sætter jeg et lighedstegn og laver en tom brøkstreg til svaret. Et eksempel kunne være $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{\phantom{00}}{\phantom{00}}$

Først ganger vi tællerne med hinanden. Det er $2 \cdot 4 = 8$. Det skriver vi øverst i den tomme brøk.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{\phantom{00}}$

Så ganger vi nævnerne med hinanden. Det er $3 \cdot 5 = 15$. Det skriver vi nederst.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

Svaret er altså $\frac{8}{15}$.

Forkort dit svar

Når man har ganget, er det en god vane at se, om svaret kan forkortes. At forkorte vil sige, at vi dividerer både tælleren og nævneren med det samme tal. Prøv at se på $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$. Tællerne giver $2 \cdot 3 = 6$, og nævnerne giver $3 \cdot 4 = 12$.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12}$

Både 6 og 12 kan divideres med 6. Så kan vi forkorte brøken.

$\frac{6}{12} = \frac{6 : 6}{12 : 6} = \frac{1}{2}$

$\frac{6}{12}$ og $\frac{1}{2}$ er præcis lige meget kage, men $\frac{1}{2}$ er meget nemmere at forstå.

Gange et helt tal med en brøk

Nogle gange skal man gange et helt tal med en brøk. Forestil dig at 3 venner hver får $\frac{2}{5}$ af en kage. Hvor meget kage skal der så bruges i alt?

Et helt tal kan altid skrives som en brøk med 1 nederst. 3 er nemlig det samme som 3 hele, altså $\frac{3}{1}$. Så kan vi bruge skabelonen ligesom før.

$3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$

Tællerne giver $3 \cdot 2 = 6$, og nævnerne giver $1 \cdot 5 = 5$. Kort sagt ganger man det hele tal med tælleren, og nævneren bliver stående.

$\frac{6}{5}$ betyder 6 femtedele. 5 af dem er en hel kage, og så er der en femtedel tilbage. Derfor kan vi også skrive svaret som et blandet tal.

$\frac{6}{5} = 1\tfrac{1}{5}$

Der skal altså bruges lidt mere end én hel kage.

Tjek dit svar

Et godt tjek er at tænke over, om svaret giver mening. Når vi ganger med en brøk der er mindre end 1, så skal svaret blive mindre end det tal vi startede med. I eksemplet $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$ tager vi $\frac{4}{5}$ af $\frac{2}{3}$, så svaret skal være lidt mindre end $\frac{2}{3}$. Vores svar $\frac{8}{15}$ er lidt mindre end $\frac{10}{15}$, som er det samme som $\frac{2}{3}$, så det passer fint.

En anden fejl jeg ser tit, er at man finder en fællesnævner, ligesom når man plusser. Det er der ingen grund til, når man ganger. Det giver bare store tal, og mange kommer så til kun at gange tællerne og lade fællesnævneren stå. Så bliver svaret forkert.