Regnehierakiet - hvad regner man først?

Ligesom der er nogen der bestemmer hjemme hvor du bor, så er der også nogen der bestemmer i et regnestykke. Rækkefølgen for hvem der bestemmer kalder vi et hierarki. I et regnestykke hedder det et regnehierarki. Regnehierarkiet ser man normalt opbygget som en trekant, hvor det der bestemmer mest, står øverst.

Indsæt billede af regnehierarkiet

Her kan I se de 4 lag i rækkefølge.

$\begin{array}{c} \text{1. Parenteser} \cr ( \; ) \cr \hline \text{2. Potenser og rødder} \cr a^{n} \quad \sqrt{a} \cr \hline \text{3. Gange og divider} \cr \cdot \qquad : \cr \hline \text{4. Plus og minus} \cr + \qquad\quad - \end{array}$

I kan se at der er 4 forskellige lag, som hver især har forskellige regneformer i sig. Regnehierarkiet er opbygget så man regner det øverste først, og så bevæger man sig stille og roligt ned igennem lagene. Hvis der er flere regneformer fra det samme lag i regnestykket, så bevæger man sig i læseretningen. Det vil sige at man starter fra venstre og efterfølgende bevæger sig mod højre.

Hvorfor er rækkefølgen vigtig?

Prøv at se på det her regnestykke.

$2 + 3 \cdot 4$

Hvis man bare regner fra venstre mod højre, så regner man først $2 + 3 = 5$ og derefter $5 \cdot 4 = 20$. Men det er forkert. Gange står højere oppe i regnehierarkiet end plus, så gange bestemmer mest. Derfor skal vi gange først.

$\begin{aligned} 2 + \underline{3 \cdot 4} &= 2 + 12 \cr &= 14 \end{aligned}$

Svaret er altså 14 og ikke 20. Det er en af de fejl jeg ser allermest, og det er netop derfor regnehierarkiet findes. Uden faste regler ville to personer kunne regne det samme regnestykke og få to forskellige svar.

Når der er flere fra det samme lag

Gange og divider står i det samme lag. Det gør plus og minus også. Når to regneformer fra det samme lag står i et regnestykke, så bestemmer ingen af dem over den anden. Så regner vi bare i læseretningen fra venstre mod højre.

$\begin{aligned} \underline{20 - 8} + 3 &= 12 + 3 \cr &= 15 \end{aligned}$

Her regner vi minus først, fordi det står længst til venstre. Hvis man i stedet regnede $8 + 3$ først, så ville man få 9, og det er forkert. Det samme gælder for gange og divider.

$\begin{aligned} \underline{24 : 4} \cdot 2 &= 6 \cdot 2 \cr &= 12 \end{aligned}$

Parenteser

I det øverste lag af regnehierarkiet møder vi parenteser. Parenteser er det første vi udregner i et regnestykke. Hvis vi tager regnestykket fra før og sætter en parentes om plusset, så ændrer det hele svaret.

$\begin{aligned} \underline{(2 + 3)} \cdot 4 &= 5 \cdot 4 \cr &= 20 \end{aligned}$

Vi vil nogle gange møde parenteser med regneformer fra forskellige lag inde i dem. Her følger vi stadig regnehierarkiet, bare inde i parentesen.

$\begin{aligned} (10 - \underline{2 \cdot 3}) \cdot 5 &= \underline{(10 - 6)} \cdot 5 \cr &= 4 \cdot 5 \cr &= 20 \end{aligned}$

I denne parentes ser vi at der både er minus og gange. Her skal vi gange først og efterfølgende skal vi minus. Først når parentesen er regnet helt færdig, ganger vi med 5.

Potenser og rødder

I det andet lag finder vi potenser og rødder. De skal regnes før gange og divider, men efter parenteser.

$\begin{aligned} 3 \cdot \underline{2^{3}} &= 3 \cdot 8 \cr &= 24 \end{aligned}$

Her skal vi først regne $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, og derefter ganger vi med 3. Det samme gælder for rødder.

$\begin{aligned} \underline{\sqrt{16}} + 2 \cdot 3 &= 4 + \underline{2 \cdot 3} \cr &= 4 + 6 \cr &= 10 \end{aligned}$

Et regnestykke med alle lagene

Nu prøver vi at samle det hele i ét regnestykke. Det kan godt se voldsomt ud, men hvis vi tager ét lag ad gangen, så er det slet ikke så slemt.

$3 + (8 - 2) \cdot 2^{2} - 10 : 5$

Først regner vi parentesen, for den står øverst i regnehierarkiet.

$3 + \underline{(8 - 2)} \cdot 2^{2} - 10 : 5 = 3 + 6 \cdot 2^{2} - 10 : 5$

Så går vi et lag ned og regner potensen.

$3 + 6 \cdot \underline{2^{2}} - 10 : 5 = 3 + 6 \cdot 4 - 10 : 5$

Nu er vi nået til gange og divider. De står i det samme lag, så vi tager dem i læseretningen. Først gange og så divider.

$3 + \underline{6 \cdot 4} - \underline{10 : 5} = 3 + 24 - 2$

Til sidst er der kun plus og minus tilbage. Dem regner vi også i læseretningen.

$\begin{aligned} \underline{3 + 24} - 2 &= 27 - 2 \cr &= 25 \end{aligned}$

Svaret er altså 25. Mit bedste råd er at skrive hele regnestykket af igen, hver gang du har regnet et lag. Det tager lidt længere tid, men så kan du hele tiden se, hvad du mangler, og du mister ikke lige så nemt tråden.